ne pas appartenir à soi-même

On peut formuler le paradoxe ainsi : l’ensemble des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n’appartiennent pas à eux-mêmes, il n’appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l’existence d’un tel ensemble paradoxal. Réécrit plus formellement, si l’on pose :

y = { x | x ∉ x } {\displaystyle y=\{x|x\notin x\}} y=\{x|x\notin x\}

on a immédiatement que y ∈ y ⇔ y ∉ y, donc chacune des deux possibilités, y ∈ y et y ∉ y, mène à une contradiction.

Le paradoxe utilise très peu de propriétés de l’appartenance, une relation binaire suffit, ce qui a permis à Bertrand Russell de l’illustrer sous la forme plus imagée, mais qui a la même structure, du paradoxe du barbier. Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui-même ? L’étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu’un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu’il n’est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n’y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la non-existence d’un tel barbier.

Pourquoi les choses ne sont-elles pas aussi simples en théorie des ensembles ? Un principe qui semble assez naturel est de considérer que toute propriété, plus précisément tout prédicat du langage, définit un ensemble : celui des objets qui vérifient cette propriété. Mais si l’on utilise ce principe, dit principe de compréhension sans restriction, on doit admettre l’existence de l’ensemble paradoxal, défini par le prédicat « ne pas appartenir à soi-même » : c’est ce que l’on a fait justement en « définissant » l’ensemble y = {x | x ∉ x}. Plus simplement (l’existence d’un tel ensemble suffit, l’unicité est indifférente), on a utilisé le cas particulier suivant du principe de compréhension non restreint :

∃y ∀x (x ∈ y ⇔ x ∉ x)

La théorie qui contient ce seul axiome, et donc a fortiori toutes les instances du principe de compréhension non restreint, est contradictoire, la démonstration est la même que celle donnée ci-dessus.

via Paradoxe de Russell — Wikipédiamasque-africain-art-statues-africaines-240613-00036

 


 

Lieux de fuite

Les Marrons se réfugiaient généralement dans des lieux inaccessibles. À la Réunion, par exemple, ils fuyaient notamment dans les Hauts de l’île, dont ils furent les premiers habitants. À Maurice, ils se cachaient dans une montagne du sud-ouest de l’île, le Morne Brabant.Les Nègres Marrons qui se sont réfugiés loin dans les forêts (et montagnes) ont su sauvegarder et transmettre leurs modes de vie africains et même partiellement leurs langues d’origine.

 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Marronnage

 

 

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